Domagoj je rođen u Mostaru 14. studenoga 1994., kao treće dijete u obitelji Ljube i Danice r. Ramljak
Završio je Srednju elektrotehničku školu u Mostaru.
Prijavio se u bogosloviju 2013. godine.
Nakon dvogodišnjega studija filozofije u Sarajevu, Biskup Ratko Perić poslao ga je u Rim na studij teologije. Boravio je u Papinskom zavodu Germanicum-Hungaricumu, a pohađao predavanja na Teološkom fakultetu Papinskoga sveučilišta Gregorijane.
Đakonsku službu obavio je u župi sv. Tome Apostola na Bijelom Brijegu u Mostaru. Pastoralnu godinu u župi dopunja pohađanjem povremenih crkveno-teoloških predavanja u Zagrebu u Nadbiskupskom Pastoralnom centru za đakone iz više biskupija i redovničkih provincija.
U svojoj rodnoj župi Rođenja BDM u Pologu, 27. 10. 2018. godine primio je sveti red đakonata. Na svetkovinu sv. Petra i Pavla, u subotu, 29. lipnja 2019. na svečanoj sv. Misi u 10 sati u mostarskoj Katedrali Marije Majke Crkve biskup Ratko Perić ga je zaredio za svećenika.
Mladu misu proslavio je u rodnoj župi Polog.
Prvo pastoralno zaduženje bila mu je služba župnog vikara u našoj župi Gospe od Zdravlja u Neumu, u kojoj je djelovao od 2019. do 2020.
Don Domagoj Markić, nakon razrješenja u župi Neum, bio je na službi osobnog biskupovog tajnika i vicekancelara Mostarsko-duvanjske i Trebinjsko-mrkanske biskupije.
Trenutno se nalazi na poslijediplomskom studiju iz kanonskoga prava u Rimu.